复变函数与积分变换（复变函数与积分变换英文）

下文转自图灵教育, 作者喵头鹰同学, [遇见数学]已获转发授权.

有这样一个神秘方程。它看上去精致优雅，学起来令人头大。曾有无数学子怨恨它抽象难懂，却又最终被它的神通广大改变了世界观。

诞生之初，它是一种解题方法，意在将热学问题中复杂的数学运算变得简单。推广之后，它的名气却盖过了它最初服务的那道难题。

它的应用之广，可以处理图片，也可以解读星空，可以帮忙建造不易倒塌的房子，也可以深度参与金融数据分析。无论是混杂的信号，还是复杂的卷积，都可以被它的魔法驯服，变得清晰明了、简洁高效。

这就是伟大的傅里叶变换。如果用方程写一部科学史，傅里叶变换必然拥有位置，这不仅仅是因为它本身足够精彩，也因为它和另一些伟大的方程存在密切的关系。

傅里叶变换为什么如此有用？因为它是拆解万物的绝佳工具。

无论是探索事物，还是解决问题，在理工科领域，人们往往会从研究对象的数学模式入手。声音、振动、图像、星光……找到它们的函数化身，就意味拨开表象，看到骨骼。

傅里叶变换拆解的就是这些数学骨骼。它的核心思想是，时空中的任何模式都可以被看作不同频率正弦模式的叠加。提供一种信号随时间变化的函数，傅里叶变换可以为你找出其中隐藏的频率信息。你可以得到一场地震包含的不同振动，去除一段音频中的噪声，还可以解读宇宙微波背景，或是处理图像、完成压缩。

这样的影响力和重要程度，可能连傅里叶本人都大为震惊，尽管在19世纪初提出这种变换的时候，他已经知道自己找到了一件宝物。当时，法国科学院对这项成果的态度有些一言难尽，他们嘉奖了与之相关的公式，但拒绝发表傅里叶的获奖回忆录。

恼怒之下，傅里叶于1822年绕过审查，通过《热解析理论》发布傅里叶变换。两年后，傅里叶以科学院秘书的身份杀了回来，并在科学院声誉卓著的期刊上发表了那篇被拒绝的回忆录。

从正式发表到现在，傅里叶变换走过了两个世纪。从历史的角度看，两个世纪不算太长，但新成果总是建立在旧成果的基础上。对傅里叶变换做一番最直接的拆解，我们就能越过它闪亮登场的19世纪，追溯更加遥远的过去。

谈到傅里叶变换，微积分是一个绕不开的话题。这不仅仅是因为变换式本身涉及积分，还因为傅里叶最初提出这种变换，是为了解这样一个方程——

u(x, t)表示一根金属杆在时刻t，位置x处的温度，常数α则是热扩散率。可以看出，这个方程关注的是温度的变化情况。

以现代人的眼光来看，用导数研究变化是一件顺理成章的事。这当然是因为微积分已经完全进入了我们的生活。然而此前很长一段时间里，学者们往往需要先估算不同时段的平均状态，再推测物体状态的整体变化规律。

微积分诞生于17世纪，恰逢理性时代崛起，一位科学巨匠迎来了他的奇迹之年。当时，躲避瘟疫的牛顿在家乡农场完成了几项震撼世界的物理学研究，在解决这些问题的过程中，他找到了一种先进的数学工具，将极限思想引入针对变化的表达和计算——

在发表之后，微积分也一度深陷争议，只不过这次，争论的最大焦点不是“这个行不行”，而是“这是谁发明的”。在同一时期，另一位科学伟人莱布尼茨从另一条途径找到了相同的方法。从此，“谁才是微积分之父”几乎成了火药桶的引信，一不小心就会引来激烈的争吵。

然而，如果继续了解两人之前的研究，就会发现人类对无穷和极限的兴趣由来已久。到了1656年，沃利斯的《无穷的算术》已经提出了微积分的前身，而费马则在1679年的《论曲线的切线》中提出了和微积分密切相关的重要问题。微积分的诞生呼之欲出，历史很可能同时选择了牛顿和莱布尼茨，这是巧合，也是必然。

在傅里叶变换中，另一个不可不说的组成部分是虚数单位i——

在很多人的印象中，虚数是一个比较新鲜的概念，毕竟它的定义透着一种不走寻常路的朋克风格——这东西居然是负数开方的产物。

事实上，虚数在历史上很像一个幽灵概念。很早以前就有学者发现，如果假设负数也能开方，一些走进死胡同的方程就可以找到出路。后来，出于实用，也出于好奇，人们便开始尝试使用虚数。不过，包括笛卡儿和牛顿在内，早期数学家都将虚数解释为问题没有解的标志。即便是对虚数给予厚望的莱布尼茨，也并不清楚它到底是什么。

到了17—19世纪初，情况逐渐转变。数学家们提出了复平面，虚数和实数出现在了同一张图上，它不再是个摸不着影的概念。

当然还有更重要的，那就是18世纪中期发表的欧拉公式。

当z=π的时候，这个式子更加惊为天人。

就这样，虚数i将数学中最著名的两个数字e和π融合在了一个优雅的等式中。一切豁然开朗，后世物理学家费曼称之为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

在科学世界的背景中飘了几百年，虚数最终被主流所接受，并且在19世纪开始大展拳脚，同微积分搭配使用更是能产生意想不到的效果。到了今天，复变函数与积分变换也成了诸多理科生的头疼之源必修法宝。

傅里叶变换里还有一个部分，其重要性不低于虚数和微积分，它是谁？就是连小学生都知道的三角函数。

回到傅里叶变换的核心思想：时空中的任何模式都可以被看作不同频率正弦模式的叠加。三角函数在这里充当了拆解后的元件，小巧精致，简洁明了。三角函数当然也是数学世界里的宝物，它历史悠久且从未过时。

不妨先说说为什么会有三角函数：因为直角三角形符合这样一个规律：

这就是毕达哥拉斯定理，它至少有两千年历史。甚至有证据表明，在学者将它总结并书写下来之前，这个规律就已经在匠人之间传播了。它是三角学的基础，也是三角函数的基础。

古人之所以热衷于研究三角学，很大程度上是看中了它对估测巨型实物的帮助，典型应用涉及天文、测绘、航海。从古希腊、古印度，到后来的阿拉伯世界和欧洲，三角学在传播和发展中见证了文明的兴衰。

然而，传统应用往往将三角学局限于具体的几何问题。如果想在更广阔的领域发挥作用，三角函数就需要更灵活的定义。

随着解析几何和分析学的出现，人们的视角开始转变。终于，欧拉在18世纪发表了《无穷分析引论》，提出用直角坐标系中的单位圆重塑三角函数的定义。接下来，这些由来已久的概念开始和复数搭档，在级数中出现，于是故事又回到了前面提到过的欧拉公式，当然还有我们言之不尽的傅里叶变换。

关于傅里叶变换，能说的趣事还有很多。比如，傅里叶的热方程和达朗贝尔的波动方程十分神似却又大不相同；比如，傅里叶变换的不同形式；比如，傅里叶与小波，等等。

事实上，每一个方程都是串在历史脉络上的珍珠，它们都是珍宝，也都是寻找其他珍宝的提示。科学的发展环环相扣，很多改变世界的方程都有着密不可分的关系。了解它们的过程像读故事，也像探案，当线索汇集一处，指向未来的时候，你领悟到这本书无法言说的精彩——

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